گروه‌های توپولوژیک با سه درجه جابه‌جایی نسبی

موسوی, سید علی

doi:10.22091/maa.2024.11077.1022

گروه‌های توپولوژیک با سه درجه جابه‌جایی نسبی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

سید علی موسوی

گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه قم، قم، ایران

10.22091/maa.2024.11077.1022

چکیده

فرض کنید G یک گروه توپولوژیک فشردۀ هاسدورف و H زیرگروهی بسته از G باشد. درجۀ جابه‌جایی نسبی H در G که با نماد Pr(H,G) نمایش داده می‌شود، احتمال جابه‌جایی یک عضو H با یک عضو G را نشان می‌دهد. فرض کنید D(G) مجموعۀ تمام درجات نسبی زیرگروه‌های G باشد. در این مقاله به بررسی گروه‌هایی خواهیم پرداخت که دارای دقیقاً سه درجۀ جابه‌جایی نسبی برای زیرگروه‌های خود هستند. به‌ویژه نشان خواهیم داد که برای چنین گروه‌هایی مرکزساز هر عضو غیرمرکزی یک زیرگروه ماکسیمال آبلی خواهد بود. همچنین مثال‌هایی از گروه‌هایی که دارای سه درجۀ جابه‌جایی نسبی هستند را معرفی خواهیم کرد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

آنالیز ریاضی و کاربردهای آن

عنوان مقاله [English]

Topological groups with three relative commutativity degrees

نویسنده [English]

Seyyed Ali Moosavi

Department of Mathematics, Faculty of Basic Science, University of Qom, Qom, Iran

چکیده [English]

Suppose that G is a compact Hausdorff topological group and H is a closed subgroup of G. The relative commutativity degree of H in G, denoted by Pr(H,G), represents the probability that an element of H commutes with an element of G. Let D(G) be the set of all relative commutativity degrees of subgroups of G. In this paper, we will study the structure of topological groups that have exactly three relative commutativity degrees for their subgroups. In particular, we will show that for such groups, the centralizer of every non-central element is a maximal abelian subgroup. We will also provide examples of groups that have three relative commutativity degrees.

کلیدواژه‌ها [English]

Commutativity degree
Relative commutativity degree
Topological group
Compact group
Closed subgroup

مراجع

[1] Barzgar, R., Erfanian, A., & Farrokhi DG, M. (2013). Finite groups with three relative commutativity degrees. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 39(2), 271–280.
[2] Erdos, P., & Turan, P. (1968). On some problems of a statistical group-theory. Acta Math. Acad. Sci. Hung, 19, 413–435. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01894517.
[3] Erfanian, A., & Farrokhi DG, M. (2015). Finite groups with four relative commutativity degrees. Algebra Colloquium, 22(3), 449–458. DOI: https://doi.org/10.1142/S1005386715000401.

[4] Erfanian, A., Rezaei, R., & Lescot, P. (2007). On the relative commutativity degree of a subgroup of a finite group. Communications in Algebra, 35, 4183–4197. DOI: https://doi.org/10.1080/00927870701545044.
[5] Erfanian, A., & Russo, F. (2008). Probability of mutually commuting n-tuples in some classes of compact groups. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 34(2), 27–37.
[6] Gustafson, W.H. (1973). What is the probability that two group elements commute?. Amer. Math. Monthly, 80, 1031–1304. DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.1973.11993437.
[7] Moosavi, S.A. (2023). Relative commutativity degree for some topological groups. Measure Algebras and Applications, 1(1), 1–12. DOI: http://doi.org/10.22091/MAA.2023.9447.1004.
[8] Nath, R.K., & Yadav, M.K. (2015). Some results on relative commutativity degree. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1952-), 64, 229–239. DOI: https://doi.org/10.1007/s12215-015-0194-x.
[9] Rezaei, R., & Russo, F.G. (2011). Bounds for the relative n-th nilpotency degree in compact groups. Asian-European Journal of Mathematics, 4, 495–506. DOI: https://doi.org/10.1142/S1793557111000411.
[10] Robinson, D. (1996). A Course in the Theory of Groups. Germany: Springer New York. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4419-8594-1.