G-قاب‌های مقیاس‌پذیر و قاب‌های تکه‌ای مقیاس‌پذیر روی فضاهای هیلبرت

فرمانی, محمدرضا; خسروی, امیر

doi:10.22091/maa.2024.10904.1021

G-قاب‌های مقیاس‌پذیر و قاب‌های تکه‌ای مقیاس‌پذیر روی فضاهای هیلبرت

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه ریاضی، دانشکده علوم ریاضی و کامپیوتر، دانشگاه خوارزمی، تهران، ایران

10.22091/maa.2024.10904.1021

چکیده

در این مقاله، مفهوم مقیاس‌پذیری قاب‌ها را به g-قاب‌ها تعمیم خواهیم داد و برخی از نتایج آن‌ها را در g-قاب‌ها ارائه می‌کنیم. علاوه‌بر این، با یافتن شرایط خاص، این نوع g-قاب‌ها را دسته‌بندی خواهیم کرد. سرانجام نشان خواهیم داد که مقیاس‌پذیری تحت عملگرهای یکانی و یکریختی‌های بین دو فضای هیلبرت ناوردا است. علاوه‌بر این، قاب‌های تکه‌ای مقیاس‌پذیر را روی فضاهای هیلبرت دلخواه تعریف می‌نماییم و برخی از نتایج را در فضاهای هیلبرت دلخواه و در فضاهای هیلبرت با بعد متناهی تعمیم می‌دهیم. در ادامه یک شرط لازم و کافی برای مشخصه‌‌سازی قاب‌های تکه‌ای مقیاس‌پذیر ارائه می‌دهیم. نهایتاً، شرایطی که موجب می‌شود این مفهوم در فضای حاصلضرب تانسوری فضاهای هیلبرت دلخواه برقرار شود، را مورد مطالعه قرار می‌دهیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

آنالیز ریاضی و کاربردهای آن

عنوان مقاله [English]

Scalable g-frames and piecewise scalable frames in Hilbert spaces

نویسندگان [English]

Mohammad Reza Farmani
Amir Khosravi

Faculty of Mathematical Sciences and Computer, Kharazmi University, 599 Taleghani Ave., Tehran 15618, Iran

چکیده [English]

In this paper, we generalize the concept of scalability to g-frames, introduce scalable g-frames, obtain some characterizations for them, and demonstrate that scalability is stable under unitary operators and isomorphisms between two Hilbert spaces. In addition, we consider and study the piecewise scalability of frames in Hilbert spaces. In particular, we present some necessary and sufficient conditions for the piecewise scalability of frames in H, and we will extend this concept to the tensor product of Hilbert spaces.

کلیدواژه‌ها [English]

G-frame
Scalable frame
Piecewise scalable frame
Orthogonal projection

مراجع

[1] Asgari, M.S., & Khosravi, A. (2005). Frames and bases of subspaces in Hilbert spaces. J. Math. Anal. Appl, 308, 541–553. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.11.036.
[2] Cahill, J., & Chen, X. (2013). A note on scalable frames. Proceedings of the 10th International Conference on Sampling Theory and Applications, 93–96.
[3] Casazza, P., Carli, L., & Tran, T. (2024). Piecewise scalable frames. Linear Algebra and its Applications, 694, 262–282. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2024.04.008.
[4] Casazza, P., & Chen, X. (2017). Frame scalings: A condition number approach. Linear Algebra and its Applications, 523, 152–168. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2017.02.020.
[5] Casazza, P., & Kutyniok, G. (2004). Frames of subspaces. Contemp. Math. Amer. Math. Soc, 345, 87–113.

[6] Casazza, P.G., & Kutyniok, G. (2013). Finite Frames: Theory and Applications. Birkhauser, New York. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8373-3.
[7] Christensen, O. (2008). Frames and Bases. Birkhauser, Boston. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4678-3.
[8] Daubechies, I., Grossmann, A., & Meyer, Y. (1986). Painless nonorthogonal expansions. J. Math. Phys, 27, 1271–1286. DOI: https://doi.org/10.1063/1.527388.
[9] Duffin, R.J., & Schaeffer, A.C. (1952). A class of nonharmonic Fourier series. Trans. Am. Math. Soc, 72, 341–366. DOI: https://doi.org/10.2307/1990760.
[10] Khosravi, A., & Farmani, M.R. (2024). Piecewise scalable frames in Hilbert spaces. International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, 22(3), 2350052. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219691323500522.
[11] Khosravi, A., & Khosravi, B. (2007). Frames and bases in tensor product of Hilbert spaces and Hilbert C∗-modules. Proc. Math. Sci, 117, 1–12. DOI: https://doi.org/10.1007/s12044-007-0001-5.
[12] Khosravi, A., & Mirzaee Azandaryani, M. (2014). Approximate duality of g-frames in Hilbert spaces. Acta Math. Sci, 34, 639–652. DOI: https://doi.org/10.1016/S0252-9602(14)60036-9.
[13] Kutyniok, G., Okoudjou, K.A., & Philipp, F. (2013). Scalable frames. Linear Algebra and its Applications, 438, 2225–2238. DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2012.10.046.
[14] Sun, W. (2006). G-frames and g-Riesz bases. J. Math. Anal. Appl, 322, 437–452. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.09.039.