بررسی عملگرهایی که با انتقال‌ها و پیچش‌ها جابه‌جا می‌شوند

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

دانشگاه سمنان، سمنان، ایران

چکیده

فرض کنیم $G$ یک گروه فشرده موضعی باشد. در این مقاله عملگرهای کران‌دار روی زیرفضاهای $L^\infty(G)$ که با انتقال و پیچش جابه‌جا می‌شوند را مطالعه می‌کنیم. ثابت می‌کنیم $G$ گروهی فشرده است اگر و تنها اگر برای هر عملگر کران‌دار روی $L^\infty(G)$ 
مانند $T$ از $T(\phi f)=\phi T(f)$ که در آن $f\in L^\infty(G)$ و $\phi \in L^1(G)$ بتوان نتیجه گرفت که برای هر 
$F\in L^\infty(G)^*$ و $f\in L^\infty(G)$, $FT(f)=T(Ff)$. نگاشت $f\mapsto T_f$ از $L^\infty(G)$ به 
$\mathcal B(L^1(G),L^\infty(G))$ یک نشاندنی است. بنابراین $L^\infty(G)$ زیرفضایی از $\mathcal B(L^1(G),L^\infty(G))$ 
بوده و لذا توپولوژی عملگر قوی روی $L^\infty(G)$ را در نظر می‌گیریم. اگر $T$ نسبت به توپولوژی عملگر قوی پیوسته باشد آنگاه 
$T$ با انتقال جابه‌جا می‌شود اگر و تنها اگر $T$ با پیچش جابه‌جا شود.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

On operators which commute with translations and convolutions

نویسنده [English]

  • Ali Ghaffari
Department of Mathematics, Semnan University, Semnan, Iran
چکیده [English]

Let $G$ be a locally compact group. In this paper, we study bounded linear operators on subspaces of $L^\infty(G)$ which commutes with translation and convolution operators. We prove, among the other things, that $G$ is compact if and only if for every bounded linear operator $T:L^\infty(G)\to L^\infty(G)$, $\phi T(f)=T(\phi f)$ $(\phi\in L^1(G)$ and $f\in L^\infty(G))$ implies that $FT(f)=T(Ff)$ for all $F\in L^\infty(G)^*$ and $f\in L^1(G)$.  To every $f\in L^\infty(G)$, we associate the operator $T_f:L^1(G)\to L^\infty(G)$ defined by $T_f(\phi)=f\phi$. We can embed $L^\infty(G)$ into $\mathcal B(L^1(G),L^\infty(G))$. $L^\infty(G)$ is a subspace of $\mathcal B(L^1(G),L^\infty(G))$ with respect to the strong operator topology. Let $T\in \mathcal B(L^\infty(G))$ be continuous with respect to the strong operator topology on $L^\infty(G)$. We show that $T$ commutes with translations if and only $T$ commutes with convolutions.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Amenable groups
  • Bounded linear operators
  • Group algebras
  • Translation invariant operators

مراجع

[1] Bagheri Salec, A., Kumar, V., & Mohammad Tabatabaie, S. (2022). Convolution Properties of Orlicz Spaces on hypergroups. Proceeding of the American Mathematical Society, 150, 1685–1696.
[2] Baker, J., Lau, A. T., & Pym, J. (1998). Module homomorphisms and topological centres associated with weakly sequentially complete Banach algebras. Journal of Functional Analysis, 158, 186–208. DOI: https://doi.org/10.1006/jfan.1998.3280.
[3] Bekka, M. E. B. (1990). Complemented subspaces of L1(G), ideals of L1(G) and amenability. Monatsh. Math, 109, 195–203.
[4] Dales, H.G. 2000. Banach algebra and automatic continuity, London Math. Soc. Monogr. Ser. Clarendon Press,
[5] Degenfeld-Schonburg S., & Lasser, R. (2013). Multipliers on Lp-spaces for hypergroups. 43(4), 1115–1139.
[6] Ghahramani, F., & Lau, A.L. (1997). Multipliers and modulus on Banach algebras related to locally compact groups. J. Funct. Anal, 150, 478–497.
[7] Ivkovic, S., & Tabatabaie, S. M. (2023). Hypercyclic Generalized Shift Operators. Complex Analysis and Operator Theory, 17, Article number: 60. DOI: https://doi.org/10.1007/s11785-023-01376-2.
[8] Lasser, R. 2023. Harmonic analysis on hypergroups, World Scientific Publ.
[9] Lau, A. T., & Losert, V. (1986). W eak∗-closed complemented invariant subspaces of L1(G) and amenable locally compact groups. Pacific J. Math, 123, 149–159.
[10] Lau, A. T., & Losert, V. (1990). Complementation of certain subspaces of L1(G) of a locally compact group. Pacific J. Math, 141, 295–310.
[11] Mohammad Tabatabaie, S., Amini M., & Amjadi, A. A. (2022). Property A for hypergroups. Semigroup Forum, 104, 464–479.
[12] Rudin, W. Functional analysis, McGraw Hill, New York, 1991. 
[13] Tahmasebi, N. (2016). Fixed point properties, invariant means and invariant projections related to hypergroups. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 437, 526–544. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2016.01.012.
[14] Willson, B. (2014). Configurations and invariant nets for amenable hypergroups and related algebras. Transactions of the American Mathematical Society, 366, 5087–5112.
[15] Willson, B. (2015). A fixed point theorem and the existence of a Haar measure for hypergroups satisfying conditions related to amenability. Canadian Mathematical Bulletin, 58, 415–422.
[16] Wood, P. J. (1999). Complemented ideals in the Fourier algebra of a locally compact group. Proc. Amer. Math. Soc, 128, 445–451.
[17] Wood, P. J. (2002). Invariant complementation and projectivity in the fourier algebra. Proc. Amer. Math. Soc, 131, 1881–1890. 

فایل ها

سابقه مقاله

  • تاریخ دریافت: 15 شهریور 1403
  • تاریخ بازنگری: 01 آذر 1403
  • تاریخ پذیرش: 25 آذر 1403

هم رسانی

ارجاع به این مقاله

آمار